Georg Cantor va estudiar les propietats dels conjunts amb un nombre infinit d’elements. Va trobar sorpreses i paradoxes.
CARDINAL D’UN CONJUNT
Es diu cardinal d’un conjunt al nombre d’elements que té.
Un conjunt de cardinal finit seria un grup de 6 moixos, que tindria cardinal 6.
En canvi el conjunt dels nombres que empram per comptar com els nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, … es pot allargar amb nombres més grans indefinidament i es diu que tindrà cardinal infinit, representat amb el signe ∞ . Els conjunts amb infinits elements donen lloc a paradoxes.
EL GRAN HOTEL HILBERT
Hilbert explica els conceptes de Cantor amb un hotel que té infinites habitacions ocupades.
a) Quan arriba un nou client es pot alliberar una habitació passant tots els ocupants d’una habitació a l’habitació següent. Açò deixa lliure l’habitació nombre 1 pel nou inquilí. Si a un conjunt infinit l’hi posam un nou element encara tenim un conjunt infinit. Igual passarà amb qualsevol nombre finit.
c) Suposam ara que arriben a l’hotel un nombre infinit d’excursions d’infinites persones cada excursió. Les podran col·locar? Es pot fer de moltes formes. Poden passar els ocupants de cada habitació al nombre d’habitació doble del que tenien. Així es deixen lliures infinites habitacions imparells. Es mostra la manera de fer-ho al gràfic següent i encara es deien habitacions lliures. El producte de dos infinits dona igualment infinit de la mateixa categoria.
ALEPH ZERO i ALEPH UN
Amb tots aquests resultats podríem pensar aquest infinit ja és prou gran i que no es pot superar, però s‘han trobat infinits encara majors.
Tots els infinits que hem vist fins ara són equivalents. Els nombres parells, els imparells, el primers, etc., tenen infinits elements però es poden comptar o numerar. Es poden relacionar amb els nombres naturals i es diuen infinits numerables. Coneguts amb el nom ALEPH ZERO.
Els nombres racionals (Q) entre 0 i 1 que es formen per divisió de dos naturals també són numerables (À0), en canvi els nombres reals (R) entre 0 i 1 no són numerables i són d’un infinit major (ALEPH UN, À1 ).
