El triangle de Pascal dona resposta a moltes qüestions de la vida quotidiana. Tothom l’hauria de conèixer.
Algunes persones que següeixen la secció em diuen que les solucions es donen poc explicades. El motiu normalment és la manca d’espai i de temps per donar més explicacions.
La setmana passada vaig posar dues preguntes que es poden relacionar amb el triangle de Pascal i ja havien sortit, fa temps, altres també relacionades.
Veurem avui algunes d’aquestes qüestions i també en deixarem moltes que no podrem comentar per manca d’espai.
El triangle també es conegut amb el nom de triangle de Tartaglia però ja el coneixíen al segle XII a la Xina. Pascal també va escriure sobre el triangle i ara es conegut amb el seu nom.
Comença amb un 1 i a cada fila horitzontal es posa la suma dels dos nombres o del nombre que hi damunt ell. Els nombres centrals creixen de forma ràpida i cada fila és simètrica respecte al nombre o nombres centrals.
Els nombres que apareixen a cada fila son els coeficients de desenvolupar les potències d’un binomi (binomi de Newton) i tenen relació amb el nombre de combinacions que es poden fer. La distribució de freqüències que surt es diu distribució binomial.
La suma de tots els nombres d’una fila és un potència de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (2 elevat al nombre de la fila menys 1: 2 elevat a 0, 2 elevat a 1, 2 elevat a 2, …).
També podem veure que hi surten els nombres naturals a la segona fila diagonal que posa nombre a la fila. 1, 2, 3, 4, 5, …
La diagonal següent són els nombres triangulars que formen figures triangulars com les 15 boles del billar americà: 1, 3, 6, 10, 15, …
La diagonal següent són els nombres tetraèdric que formes piràmides de base triangular: 1, 4, 10, 20, 35, …
Les següents serien nombres tetraèdrics en espais de 4, 5, o més dimensions.
La suma d’unes diagonals també formen els nombres de Fibonacci en què cada nombre és suma dels dos anteriors: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … El qüocient entre el darrer i l’anterior tendeis al nombre d’or (phi = 1,618…)
Si en fixam en una fila, per exemple la quarta, hi trobam la resposta a molts problemes que aparenten ser diferents però que estan ben relacionats: 1, 4, 6, 4, 1.
Al gràfic següent veim 3 problemes:
a) De quantes maneres es pot anar d’un creuer a un altre pel camí més curt. A cada creuer podem triar dreta o esquerra (2 opcions) i el cada creuer podem marcar la suma dels nombres posats als dos creuers que permeten arribar allà. Només hi ha una forma d’arribar a la plaça (quatre vegades a l’esquerra). Hi ha 4 maneres arribar al creuer amb el 4 ( 3 vegades a l’esquerra i 1 a la dreta), etc.
b) Si tiram 4 monedes, cada moneda pot sortir cara o creu i el més probable amb 6 possibilitats de les 16 serà que surtin 2 cares i 2 creus.
Menys probable, amb 4 de 16 és que surtin 3 cares i una creu. Molt poc probable amb 1 possibilitat de cada 16 que surtin 4 cares.
c) En una família amb 4 fills/es. Les 16 combinacions seran les mateixes. Suposam que és igualment probable tenir un un que una filla. Cada fill serà home o dona: 1 cas de 16 seràn 4 homes, 4 seran 3 homes i 1 dona, 6 casos de 2 homes i 2 dones, 4 casos de 1 homes i 3 dones i, finalment. Curiosament la suma dels dos quatres (3h +1d ó 1h + 3d) dona 8 que supera els 6 casos de 2+2 i és més probable.
L’aparell de Galton és un aparell mecànic que reprodueix experimentalment la distribució binomial on es pot veure la semblança amb una distribució normal anomenada campana de Gauss, molt emprada en estudis d’estadística.
