Dins els nombres naturals, hi ha una gran varietat de nombres: parells, quadrats, primers, abundants, deficients i, també, perfectes.
Els nombres naturals són els més senzills. Són per comptar les coses.
1, 2, 3, 4, 5, …. i així fins a l’infinit.
Hi ha infinits nombres naturals.
Hi ha nombres que es poden dividir per 2, sense deixar reste, són els parells: 2, 4, 6, 8, …
Hi ha nombres que només es poden dividir per 1 i per ell mateix, són els nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (Els nombres primers només tenen dos divisors).
El nombre 1 només té 1 divisor i els nombres compostos en tenen més de 2.
Vegem que passa amb els nombres compostos.
El nombre 4, per exemple, té 3 divisors: 1, 2 i 4.
El nombre 6, té 4 divisors: 1, 2, 3 i 6.
El nombre 8, té 4 divisors: 1, 2, 4 i 8.
El nombre 9, té 3 divisors: 1, 3 i 9.
Els nombres quadrats (1, 4, 9, 16, …) ténen un nombre imparell de divisors, els altres, un nombre parell.
SUMA DELS DIVISORS PROPIS
Si calculam la suma de tots els divisors excepte el mateix nombre, què pot passar?
Els divisors propis de 4 són 1 i 2 (el 4 no el sumam); la suma dona 3. Si aquesta suma és menor que el nombre se li diu nombre deficient.
Aquest concepte el va introduir el matemàtic Nicomac cap a l’any 100 d. C.
Els divisors propis de 12 són 1, 2, 3, 4, i 6; la suma dona 16. Aquesta suma és major que 12 i per açò deim que 12 és un nombre abundant.
Podriem trobar nombres pels quals la suma del divisors propis dona exactament igual a nombre.
Provam amb el 6. Els divisors propis de 6 són, 1, 2 i 3. La suma dona 6. Deim que el nombre 6 és perfecte, ni deficient, ni abundant.
Euclides ja coneixia els 4 primers nombres perfectes i sabia que es podiem trobar amb la formula:
On n no pot ser qualsevol nombre. L’exponent n ha de ser primer i el parèntesi també ha de ser primer. Aquesta condició ja era coneguda a l’època de Mersenne i de Fermat.
Els nombres imparells de la forma:
es diuen nombres de Mersenne.
Quan n és compost dona nombres compostos i, quan n és primer, a vegades dona nombres primers.
Mersenne va suposar que donava nombres primers amb els exponents: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257.
Els nombres de Mersenne 1, 4, 6, 8, 9, 10, 11, … no eren primers.
100 anys més tard Euler va treure de la llista 2 nombres (67 i 257) i va afegir 3 nombres (61, 89 i 107).
La llista correcte va quedar així:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, …
Amb aquest valors es trobaven els 12 primers nombres perfectes.
Fins a 2018 s’havien trobat 51 nombres perfectes.
