Antoni Liz / Ciutadella – Comentam avui l’obra Arithmetica de Diofant, una obra matemàtica destacada del segle III que molts matemàtics han estudiat.
Diofant va néixer a Alexandria, al voltant de l’any 210 i va viure fins als 84 anys.
Va escriure llibres sobre Aritmètica, Algebra i Nombres poligonals.
Sabem que la seua obra Aritmètica tenia 13 llibres però només s’han conservat edicions gregues de 6. Els 6 llibres que es coneixen de la «ARITHMÉTICA» contenen problemes de resolució d’equacions. El 1972 es van trobar traduccions aràbiques d’altres 4. Posam una breu descripció dels 6 llibres i alguns dels seus problemes.
La imatge inicial mostra l’edició de Brachet en llatí i grec que va consultar Fermat i posar comentaris al seu marge. L’original grec es troba a la Biblioteca del Vaticà. No he trobat cap edició espanyola dels 6 llibres més coneguts. Els comentaris es fan a partir de l’edició anglesa de 1910 i de la francesa de 1853. Les dues contenen comentaris de Fermat i altres matemàtics.
- El llibre I té 25 problemes de primer grau i 14 de segon grau.
- El llibre II té 35 problemes. El nombre 8 és el més conegut.
- El llibre III té 21 problemes. El nombre 19 és el més conegut.
- El llibre IV té 40 problemes, la majoria de cubs.
- El llibre V té 30 problemes de cubs. 28 són de segon i tercer grau.
- El llibre VI té 24 problemes de resolució de triangles rectangles.
Els llibres són coleccions de problemes i les solucions trobades per Diofant. Els enunciats són generals però les solucions són particulars, generalment en nombres fraccionaris (racionals).
Les traduccions duen notació matemàtica actual.
Veim alguns exemples.
PROBLEMA 3 del LLIBRE 1
3. Dividir un nombre donat en dos nombres de manera que un sigui una relació donada de l’altre més una diferència donada. (Enunciat general)
Solució concreta amb dades ja fixades:
Donat el nombre 80, la proporció 3:1 i la diferència 4.
El menor nombre x. Per tant, el més gran és 3x + 4, i la suma dels dos és 4x + 4 = 80, de manera que x = 19. Els nombres són 61, 19.
PROBLEMA 8 del LLIBRE 2
(És el problema mostrat a la imatge inicial)
8. Dividir un nombre quadrat donat en dos quadrats.
c2 = a2 + b2
(Hi ha infinites solucions enteres que es diuen ternes pitagòriques.)
Solució concreta de Diofant:
Donat un quadrat 16. Els quadrats que cercam són x2 i 16 – x2.
16 – x2 ha de ser quadrat de la forma (mx – 4)2
Igualam (2x – 4)2 = 16 – x2
4 x2 – 16x + 16 = 16 – x2
Per tant 5 x2 = 16 x
x = 16/5
Els quadrats cercats són 256/25, 144/25 que sumen 16.
La solució es dona en fraccions.
Multiplicant els nombres per 25, tindriem una solució amb enters (256, 144, 400) que es pot simplificar per 16 per tenir una terna primitiva (16, 9, 25) quadrats de (4, 3, 5).
Fermat va afegir el 1637 al marge aquesta observació que es coneguda com a darrer teorema de Fermat.
“És impossible dividir un cub en dos cubs, o un biquadrat en dos biquadrats, o en general qualsevol potència major que 2 en dues potències amb el mateix exponent. He descobert una prova realment meravellosa d’això, que tanmateix el marge no és prou gran per contenir”.
La meravellosa demostració de Fermat mai es va trobar. Realment va ser una conjectura que no es va demostrar fins a 1995 per Andrew Wiles.
PROBLEMA 9 del LLIBRE 2
(És el problema mostrat a la imatge inicial)
9. Dividir un nombre donat que és la suma de dos quadrats en altres dos quadrats.
Aquí es mostra la solució donada al problema a la versió anglesa.
