Toni Liz / Ciutadella – Cantor estudia els nombres transfinits en articles matemàtics publicats entre 1874-1897.
El 27 de novembre de 2020 ja varem veure alguns detalls sobre les paradoxes de l’infinit. Avui en feim una passa més amb Goerge Cantor que va estudiar l’infinit i els nivells que té l’infinit.
El tema de l’infinit sempre ha duit polèmica. Ja ho analitzava Aristòtil des de el punt de vista filosòfic, San Agustí des de el punt de vista religiós i posteriorment molts científics com Newton, Cantor, Gödel, Cohen …, des del punt de vista matemàtic.
Aquí en centrarem en els aspectes matemàtics que tracta Cantor als seus articles. Ja veiem fa més de dos anys que el nombre de nombres enters és infinit, un primer nivell d’infinit que ara es coneix com aleph zero (aleph és el símbol d’una lletra hebrea que es mostra primer gràfic).
En conjunts finits quan dos conjunts es poden coordinar deim que es poden comptar i que tenen el mateix nombre d’elements. Per exemple els dies de la setmana es pot relacionar amb els nombres de 1 fins a 7 i deim que té 7 elements o que el cardinal del conjunt és 7.
En canvi, amb conjunts que tenen infinits elements com el conjunt dels nombres naturals que comença amb 1 i no existeix un darrer element, ens trobam que, a vegades, es poden coordinar amb conjunts majors o menors que també tindràn infinits elements.
Per exemple els nombres naturals es poden coordinar amb els nombres enters que la nostra lògica bàsica ens diu que és major, o també amb els nombres parells positius, els nombres quadrats o, fins i tot, amb els nombres primers que, tots ells estan inclosos dins els naturals. Sembla que haurien de tenir menys elements que els naturals.
Aquest primer nivell d’infinit reb el nom de Aleph zero.
Els nombres Naturals (N), els Enters (Z) i també les fraccions (Q, Nombres Racionals) es poden relacionar, coordinar o comptar i es troben en aquest nivell d’infinit (aleph zero).
En canvi quan arribam als nombres Reals (R) que inclouen els infinits nombres racionals i també els nombres irracionals (nombres amb infinit nombre de xifres decimals) hem de passar a un nivell superior d’infinit.
Si suposam que els nombres Reals es poden numerar com es mostra als gràfic següent podriem trobar molts nombres que no s’han inclòs a la llista. Per exemple un nombre que té el primer decimal diferent del primer de la llista, el segon decimal diferent del segon de la llista i així fins a l’infinit.
Açò demostra que els reals no es poden comptar i pertanyen a un nivell d’infinit superior a aleph zero.
Els nombres reals es posen representar ordenats en una línea sense que quedin forats.
Aquest nivell d’infinit es coneix amb el nom de continu.
Cantor va proposar la hipòtesi de que el continu era al nivell següent a aleph zero és a dir aleph un.
La demostració d’aquesta hipòtesi va ser el primer dels 23 problemes proposats per Hilbert l’any 1900.
La solució trobada per Gödel diu que la hipotesi és consistent però no es pot demostrar, es a dir, si es considera verdadera la hipòtesi no s’arriba a cap contradicció.
Però després Cohen va demostrar que també és consistent considerar que la hipòtesi es falsa.
Encara hi ha polèmica amb el tema del nombres transfinits.
