Els matemàtics comencen amb axiomes, presenten conjectures i si les demostren arriben a la categoria de Teoremes.
Veiem fa unes setmanes que en les ciències naturals hi ha teories que consideram vàlides mentre no es troben proves en contra. Les teories no es demostren. Ara mateix es veuen notícies que posen en dubte la teoria del Big-bang.
En matemàtiques, les propostes es diuen conjectures i quan es demostren es consida que la conjectura és certa i es diu TEOREMA.
El diccionari ens diu que una demostració és una prova d’alguna proposta a partir de veritats universals i evidents.
Aquestes veritats no demostrades es diuen axiomes o postulats.
Els cinc postulats d’Euclides (325 a.C.-265 a.C.) de la geometria:
I. Dos punts qualssevol determinen un segment de recta.
II. Un segment de recta es pot estendre indefinidament en una línia recta.
III. Es pot traçar una circumferència donat un centre i un radi qualsevol.
IV. Tots els angles rectes són iguals entre si.
V. Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única paral·lela.
Acceptant el cinquè postulat es construeix la geometria euclediana, en canvi, modificant el cinquè postulat s’han construït altres geometries (hiperbòlica i el·liptica).
Amb açò podem veure que els axiomes no són veritats universals i evidents sino afirmacions que podem acceptar sense demostració.
Exemples de conjectures.
– Hi ha infinits nombres primers. Enunciat i demostrat per Euclides cap al 300 a. C.
– El darrer «Teorema» de Fermat. Enunciat per Fermat el 1637 i demostrat per Wiles (i Taylor) el 1995.
– La conjectura de Collatz. Enunciat per Collatz el 1937 i no demostrat encara.
Exemples de demostracions:
Ha ha varietat de tipus de demostracions:
– per reducció a l’absurd.
– per trobar un contraexemple.
– per inducció.
– pel principi del colomar.
– per …
Demostració per reducció a l’absurd dels infinits nombres primers d’Euclides del llibre 9 (Elements)
Suposam que coneixem el darrer nombre primer (per exmple 19). Agafam tots els primers coneguts fins a 19, els multiplicam tots i sumam 1 obtindrem un nombre (exemple 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 + 1 = 9 699 691). El nombre obtingut no serà divisible per cap dels nombres primers coneguts (fins a 19) i, per tant, o serà primer, o es podrà descompondre en nombres primers majors que el major primer conegut. En aquest exemple, 9 699 691 no és primer, però es pot descompondre ( 347 x 27953 ). Hem trobat dos primers majors que 19. El procés es pot repetir indefinidament.
També hi ha falses demostracions: Demostració de que 2 = 1.
Suposem dos nombres iguals a i b.
a = b
a2 = ab (multiplicar per a la igualdad)
a2 – b2 = ab – b2 (Restar b al quadrat)
(a – b)(a + b) = b (a – b)
a + b = b (Simplificar, dividir per a – b)
b + b = b
2 b = b
2 = 1
(Q.E.D.)
Que hem fet malament?
