En aquesta obra Kepler cerca el motiu pel qual els flocs ne neu tenen forma hexagonal. També presenta una conjectura que no s’ha resolt fins fa poc.
Aquest primera imatge mostra la portada de l’obra «De niue sexangula» i la pàgina inicial.
L’obra original la va escriure Kepler en llatí l’any 1611 i la va dedicar al seu benefactor i amic Johannes Matthäus Wäckher von Wackenfelds. A internet es pot trobat l’obra original i algunes traduccions.
Només té 24 pàgines. Planteja qüestions de geometria a la naturalesa: plantes, fruit, minerals i flocs de neu.
Recordem que és l’època dels inicis de l’òptica.
Just a les primeres pàgines ja planteja: «per què els flocs de neu en la seua primera caiguda, abans que s’entremesclen en grans flocs, sempre cauen amb sis angles, amb sis vellosos radis similars a plomes.» I afegeix: «…hi ha d’haver alguna causa…»
Comença analitzant la geometria de les bresques de les abelles, els sòlids platònics, els poliedres sòlids arquimedians i plateja: «existirà un cos que pugui ser construït només amb rombes?»
Troba el dodecaedre ròmbic com un sòlid que pot omplir tot l’espai.
L’obra només presenta tres imatges d’empaquetament d’esferes en dues dimensions i descriu els empaquetaments tridimensionals sense figures ni models. Només les formes que observa a la naturalesa.
També comenta la forma dels grans d’una magrana amb cares de forma ròmbica. Els grans en principi serien esferes que quan creixen i es comprimeixen uns amb altres.
Un empaquetament cúbic (A de la pàgina 9) convertiria les esferes en cubs quan s’inflen i es comprimeixen. Cada esfera tindrà 6 esferes veïnes.
Un empaquetament triangular (B de la pàgina 9 i de la pàgina 10) ens duu a dues possibles configuracions on cada esfera tindrà 12 veïnes, 6 a un pla, 3 al pla superior i 3 al pla inferior amb dues possibilitats.
En una de les configuracions les boles es faran ròmbiques.
Aquí planteja la coneguda conjectura de Kepler que diu que aquestes són les configuracions d’empaquetament d’esferes més compactes possibles. (Les esferes ocupen un 74% de l’espai).
Al Congrés Internacional de Matemàtics de 1900, David Hilbert va impartir una conferència molt famosa en la qual va enunciar 23 problemes que tindran gran rellevància per a l’avenç de les matemàtiques al segle XX. El problema de l’empaquetament d’esferes més dens, és part del 18è problema de Hilbert.
El 1998 Thomas Hales va anunciar que havia demostrat la conjectura de Kepler. Va ser publicada a Annals of Mathematics. La comprovació de Hales és una demostració per casos en què es proven agrupaments mitjançant càlculs complexos d’ordinador. Hales va formular una equació de 150 variables que recollia cinc mil agrupaments possibles d’esferes iguals.
Els dotze científics seleccionats per Annals per fer la revisió per parells van comentar que estaven al “99% segurs” de l’exactitud de la prova de Hales.
L’autor de la solució es va dedicar a crear el projecte Flyspeck, consistent en un programa que verifica pas a pas totes les afirmacions lògiques de la solució matemàtica, verificant-la en comptes dels mateixos matemàtics. El 9 d’agost del 2014, l’equip de Hales va anunciar que el programa que van crear va aconseguir verificar la solució de la Conjectura de Kepler proposada per Hales, i que no va trobar errors.
Al juny de 2017, la demostració formal de la Conjectura de Kepler va ser acceptada a la revista Forum of Mathematics.
La conjectura presentada per Kepler en aquesta obra s’ha hagut de «comprovar» emprant ordinador.
Al final de l’obra justifica la geometria dels flocs de neu per la disposició compacta de les esferes en un pla.
