Fa 50 anys, el 1975 Mandelbrot va proposar el terme fractal per a figures definides de manera recursiva.
Leibniz va fer al segle XVII les primeres pases en l’estudi d’aquestes figures.
El 1872 Weierstrass defineix un funció contínua però no diferenciable en cada punt (amb una tangent no definida.)
El 1904 Koch defineix la primera figura que es pot considerar un fractal: El floc de neu de Koch.
En aquesta figura trobam la primera paradoxa: El perímetre de la figura creix fins a l’infinit encara que l’àrea de la figura creix però de manera moderada.
Aquest fractal comença amb un triangle equilàter (C0). A cada costat (L) de la figura afegim una punta centrada en forma de triangle de costat L/3. La longitud de cada un dels 3 costats augmenta en L/3 (total 4L/3). Repetim el mateix amb cada costat de la nova figura C1 per formar C2 i així seguim repetint el procés indefinidament.
El nombre de costats va augmentant: 3, 12, 48, … (es multiplica per 4).
El perímetre també augment: 3L, 4L, 16L/3, … (es multiplica per 4/3).
En el límit, quan n es fa infinit, el perímetre també)
L’àrea també va sumant noves àrees: (Triangles afegits: 3, 12, 48, …) · (àrea de cada triangle: 1/9 part de l’àrea dels triangles anteriors). En el límit, quan n es fa infinit, l’area tendeix a 8/5 A. Menys del doble que l’àrea inicial
A la naturaleza trobam exemples quasi fractals.
Cercant a internet podem trobar que la costa de Menorca fa uns 295 km. No sabem com s’ha mesurat.
Una manera de medir la costa es rectificar-la i fer un fractal.
Així ho va fer el 1961 Richardson amb la diverses costes, fronteres y altres figures. Va poder comprovar que com més petites eren les rectes, major seria la longitud calculada.
En casos així no podem fer els càlculs fins a l’infinit. Ens conformam amb rectes de 10 km, d’1 km, o d’1 m ? No faria falta cercar més precisió.
Amb rectes de 5 km dona uns 114 km (molt petit).
Fet amb rectes més petites, pot ser, arribariem a obtenir els 295 km que diuen que són els km de costa de Menorca.
En biologia també trobam fractals com, per exemple, la col Romanesco.
El 1975 Mandelbrot va trobar el conegut conjunt de Mandelbrot de punts matemàtics del pla complexe definit de manera recursiva i va obtenir una curiosa figura a la quan pot fer zoom i es troben figures semblants indefinidament.
